Физика 1 курс.

Question

6. Сферический слой, ограниченный радиусами  R1 = 3 см и R2 = 5 см,  равномерно заряжен зарядом плотностью r = 3 мкКл/м3 . Диэлектрическая проницаемость слоя ε1 = 5, а окружающей среды ε2 = 2,5. Найти индукцию и напряженность электрического поля: а) в центре слоя; б) между поверхностями слоя на расстоянии r = 4 см от наружной поверхности. Построить график зависимости напряженности поля от расстояния до центра сферического слоя. В идеале решение с чертежом сферического слоя. Не понимаю именно как должен выглядеть чертеж и график.

user_304605093 · Accepted Answer

​ 
Радиусы слоя:  
R 
1 
= 
3 
R  
1 
​ 
=3 см,  
R 
2 
= 
5 
R  
2 
​ 
=5 см 
Зарядовая плотность:  
ρ 
= 
3 
  
μ 
C 
/ 
m 
3 
= 
3 
× 
10 
− 
6 
  
C 
/ 
m 
3 
ρ=3 μC/m  
3 
=3×10  
−6 
  C/m  
3 
  
Диэлектрическая проницаемость слоя:  
ε 
1 
= 
5 
ε  
1 
​ 
=5 
Проницаемость окружающей среды:  
ε 
2 
= 
2.5 
ε  
2 
​ 
=2.5 
Расстояние от центра слоя:  
r 
= 
4 
см 
= 
0.04 
м 
r=4 см=0.04 м 
Необходимо найти:Индукцию и напряженность электрического поля:a) в центре слоя ( 
r 
= 
0 
r=0)b) между поверхностями слоя ( 
r 
= 
4 
см 
r=4 см) 
Шаг 1. Рассчитаем общий заряд в слое:Объём слоя: 
V 
= 
4 
3 
π 
( 
R 
2 
3 
− 
R 
1 
3 
) 
V=  
3 
4 
​ 
π(R  
2 
3 
​ 
−R  
1 
3 
​ 
) 
Полный заряд слоя: 
Q 
= 
ρ 
V 
= 
4 
3 
π 
ρ 
( 
R 
2 
3 
− 
R 
1 
3 
) 
Q=ρV=  
3 
4 
​ 
πρ(R  
2 
3 
​ 
−R  
1 
3 
​ 
) 
Шаг 2. Электрическое поле внутри слоя рассчитывается законом Гаусса:При  
R 
1 
< 
r 
< 
R 
2 
R  
1 
​ 
<r<R  
2 
​ 
:Заряд внутри сферы радиусом  
r 
r: 
Q 
( 
r 
) 
= 
4 
3 
π 
ρ 
( 
r 
3 
− 
R 
1 
3 
) 
Q(r)=  
3 
4 
​ 
πρ(r  
3 
−R  
1 
3 
​ 
) 
Электрическая индукция  
D 
( 
r 
) 
D(r): 
D 
( 
r 
) 
= 
Q 
( 
r 
) 
4 
π 
r 
2 
D(r)=  
4πr  
2 
  
Q(r) 
​ 
  
Нapяженность поля  
E 
( 
r 
) 
E(r): 
E 
( 
r 
) 
= 
D 
( 
r 
) 
ε 
0 
ε 
1 
E(r)=  
ε  
0 
​ 
ε  
1 
​ 
  
D(r) 
​ 
  
Шаг 3. Теперь рассчитаем искомые величины:a) В центре слоя ( 
r 
= 
0 
r=0):— Индукция и напряженность равны нулю, так как заряд распределён симметрично относительно центра. 
b) Между поверхностями слоя ( 
r 
= 
4 
см 
r=4 см):Заряд внутри сферы радиусом  
r 
= 
0.04 
м 
r=0.04 м: 
Q 
( 
0.04 
) 
= 
4 
3 
π 
ρ 
( 
( 
0.04 
) 
3 
− 
( 
0.03 
) 
3 
) 
Q(0.04)=  
3 
4 
​ 
πρ((0.04)  
3 
−(0.03)  
3 
) 
Q 
( 
0.04 
) 
≈ 
0.217 
× 
10 
− 
6 
  
C 
Q(0.04)≈0.217×10  
−6 
  C 
Индукция поля: 
D 
( 
0.04 
) 
= 
0.217 
× 
10 
− 
6 
4 
π 
( 
0.04 
) 
2 
≈ 
0.432 
× 
10 
− 
3 
  
C 
/ 
m 
2 
D(0.04)=  
4π(0.04)  
2 
  
0.217×10  
−6 
  
​ 
≈0.432×10  
−3 
  C/m  
2 
  
Нapяженность поля: 
E 
( 
0.04 
) 
= 
0.432 
× 
10 
− 
3 
8.85 
× 
10 
− 
12 
× 
5 
≈ 
9.75 
× 
10 
6 
  
V 
/ 
m 
E(0.04)=  
8.85×10  
−12 
×5 
0.432×10  
−3 
  
​ 
≈9.75×10  
6 
  V/m 
Итоги:a) Центр слоя:  
E 
= 
D 
= 
0 
E=D=0b) Внутри слоя ( 
r 
= 
4 
см 
r=4 см):  
E 
≈ 
9.75 
× 
10 
6 
  
V 
/ 
m 
E≈9.75×10  
6 
  V/m,  
D 
≈ 
0.432 
× 
10 
− 
3 
C 
/ 
m 
2 
D≈0.432×10  
−3 
C/m  
2 
  
График: 
Внутри слоя: возрастание поля с ростом  
r 
r. 
За пределами слоя: уменьшение поля обратно пропорционально  
r 
2 
r  
2 
. 
Черновая схема:Нарисовать круг с центром в точке  
O 
O, провести радиусы  
R 
1 
R  
1 
​ 
  и  
R 
2 
R  
2 
​ 
, отметить точку  
P 
P внутри слоя.