Представить в виде суммы кубов нескольких подряд идущих целых чисел

Значится. Представим сумму кубов подряд идущих чисел как S=a^3+(a+1)^3+(a+2)^3...(a+k-1)^3
Используя тождество, что a^3=(a(a+1)/2)^2-(a(a-1)/2)^2, суммируем от a до a+k-1, всё красиво сворачивается до s=((a+k-1)(a+k)/2)^2-(a(a-1)/2)^2
x=(a+k-1)(a+k)/2; y=a(a-1)/2
5^n=x^2-y^2=(x-y)(x+y); (x-y)=5^c, (x+y)=5^d; c+d=n; d>c>0
Легко получить, что x=(5^c+5^d)/2; y=(5^d-5^c)/2
Приравниваем
a(a-1)/2=(5^d-5^c)/2 <=> 5^c(5^{d-c}-1) значит: либо весь 5^c попадает в a, и (a-1)=5^{d-c}-1, либо наоборот

1)a=5^c; (a-1)=5^{d-c}
Тогда получается (a-1)=5^{d-c}, но в то же время (a-1)=(5^c-1)
Тогда 5^{d-c}-1=5^c-1 и 5^{d-c}=5^c, значит d=2c
Тогда x=(5^c+5^{2c})/2; y=(5^{2c}-5^c)/2
Подставляем и приравниваем
(5^c+k-1)(5^c+k)/2=5^c+5^{2c} <=> 5^{2c}+k5^c-5^c+k5^c+k^2-k-5^c-5^{2c}=0 <=> k^2+2k5^c-2*5^c-k=0
k^2+[2*5^c-1]k+[-2*5^c]=0; D=(2*5^c+1)^2
k_1=(-2*5^c+1+2*5^c+1)/2=1, это не башня, а тривиальный случай
k_2=(-2*5^c+1-2^*5^c-1)/2<0, k не может быть меньше нуля, потому что это кол-во чисел.

2)a-1=5^c; a=5^{d-c}-1
5^c+1=5^{d-c}-1 <=> 5^{d-c}=5^c+2
Ясен пень, что с обеих сторон должна быть чистая степень пятёрки, но 5^c+2 ею быть не может. Единственный случай приводит к k=1, что ни к селу, ни к городу.
Q.E.D