Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиИгрыЗнакомстваНовостиПоискСмотриComboВсе проекты

Подскажите, верно ли я считаю телесный угол (сечение не круг, а эллипс).

Egor Bogatinskiy Ученик (133), закрыт 11 лет назад
Здравтсвуйте!
У меня вопрос с телесным углом.
как известно, когда есть плоский угол 2а, то соответствующий ему телесный угол определяется как омега=2*Pi*(1-cosа) .
Но у меня ситуация похлеще.
У меня такая картина, что из отчки выходят лучи да так, что плоский угол а одной плоскости 2а, в ортогональной плоскости 2b, то есть сечения светового пучка (плоскостью, перпендикулярной осевому лучу) - есть эллипсы.

как в таком случае найти телесный угол?? ?

у меня есть вариант, но не уверен, что это точно, может это приближенно?

омега=2*Pi(1-SQRT(cosa*cosb)).

Так верно? или это лишь приближенно?? ?
а как точно? есть ди готовое выражение?

Спасибо!
Лучший ответ
Лариса Крушельницкая Гений (53777) 11 лет назад
Ну, во первых, формула, которую вы предлагаете, неправильная. Чтобы найти правильную формулу, нужно взять двумерный интеграл который не для слабых нервов.

Во вторых, эта формула даже в качестве первого приближения очень плохая. Когда α = β, она, естественно, точная, но чем больше отличается α от β, тем сильнее погрешность. Могу предложить более точную формулу.

Возьмём круг радиусом А, круг радиусом B и эллипс с полуосями А и В. Площади их соответственно S1 = πА², S2 = πВ² и S3 = πАВ.

Пусть угловой размер первой окружности равен 2α, второй – 2β, а эллипса соответственно 2α и 2β по каждой из полуосей.

Телесные углы двух окружностей равны соответственно Ф1 = 2π(1–cos α) и Ф2 = 2π(1–cos β).

Вопрос: учитывая, что телесный угол примерно пропорционален площади эллипса и принимая во внимание формулы для площадей, как должна выглядеть формула для телесного угла эллипса?

Первое, что приходит в голову по аналогии – Ф3 = 2π√(1–cos α)√(1–cos β).

Привожу результаты численного моделирования.
В первых двух столбцах – значения cos α, сos β.
В третьем столбце – расчёт телесного угла численными методами.
В четвёртом столбце – телесный угол по формуле 2π√(1–cos α)√(1–cos β).
В пятом столбце – телесный угол по формуле 2π [1–√(cos α • cos β)].

0.1 0.1 5.694 5.65487 5.65487
0.1 0.2 5.341 5.33146 5.39461
0.1 0.3 4.959 4.98712 5.19491
0.1 0.4 4.553 4.61718 5.02655
0.1 0.5 4.121 4.21489 4.87822
0.1 0.6 3.655 3.76991 4.74413
0.1 0.7 3.139 3.26484 4.62081
0.1 0.8 2.542 2.66573 4.50603
0.1 0.9 1.783 1.88496 4.39823

0.2 0.2 5.045 5.02655 5.02655
0.2 0.3 4.708 4.70191 4.74413
0.2 0.4 4.338 4.35312 4.50603
0.2 0.5 3.937 3.97384 4.29627
0.2 0.6 3.499 3.55431 4.10663
0.2 0.7 3.010 3.07812 3.93223
0.2 0.8 2.441 2.51327 3.76991
0.2 0.9 1.714 1.77715 3.61746

0.3 0.3 4.410 4.39823 4.39823
0.3 0.4 4.076 4.07197 4.10663
0.3 0.5 3.709 3.71718 3.84972
0.3 0.6 3.303 3.32475 3.61746
0.3 0.7 2.846 2.87932 3.40387
0.3 0.8 2.311 2.35095 3.20507
0.3 0.9 1.625 1.66237 3.01835

0.4 0.4 3.778 3.76991 3.76991
0.4 0.5 3.445 3.44144 3.47326
0.4 0.6 3.073 3.07812 3.20507
0.4 0.7 2.653 2.66573 2.95844
0.4 0.8 2.157 2.17656 2.72888
0.4 0.9 1.518 1.53906 2.51327

0.5 0.5 3.147 3.14159 3.14159
0.5 0.6 2.812 2.80993 2.84174
0.5 0.7 2.431 2.43347 2.56600
0.5 0.8 1.979 1.98692 2.30935
0.5 0.9 1.395 1.40496 2.06830

0.6 0.6 2.517 2.51327 2.51327
0.6 0.7 2.178 2.17656 2.21122
0.6 0.8 1.776 1.77715 1.93007
0.6 0.9 1.253 1.25664 1.66601

0.7 0.7 1.887 1.88496 1.88496
0.7 0.8 1.540 1.53906 1.58128
0.7 0.9 1.087 1.08828 1.29606

0.8 0.8 1.258 1.25664 1.25664
0.8 0.9 0.889 0.88858 0.95173

0.9 0.9 0.629 0.62832 0.62832

Как видите, формула 2π√(1–cos α)√(1–cos β) даже в крайних ситуациях (cos α = 0.1, сos β = 0.9, т. е. α = 84˚, β = 26˚) даёт ошибку не больше 5%, при углах же менее 60˚ ошибка не более 1%. Для формулы 2π [1–√(cos α • cos β)] расхождения значительные.

P.S. Рассматривая таблицу следует помнить, что численное интегрирование в данном варианте имеет ошибку в третьем-четвёртом знаках.

const N=1000;
var
A,B,d,dx,dy,f,x,y,ri,yi,df,ca,cb: double;
i,j,m,k,jmax: integer;
begin
for m:=1 to 9 do begin
for k:=m to 9 do begin
ca:=m*0.1;
cb:=k*0.1;
f:=0;
d:=ca;
a:=d*sqrt(1-ca*ca)/ca;
b:=d*sqrt(1-cb*cb)/cb;
dx:=a/N;
dy:=b/N;
for i:=0 to N-1 do begin
x:=i*dx;
yi:=b*sqrt(a*a-x*x)/a;
for j:=0 to N-1 do begin
y:=j*dy;
if y>yi then break;
ri:=sqrt(d*d+x*x+y*y);
df:=dx*dy*d/ri/ri/ri;
f:=f+df;
end;
end;
writeln(ca:4:1,cb:4:1,f*4:8:3,2*pi*sqrt((1-ca)*(1-cb)):8:5,2*pi*(1-sqrt(ca*cb)):8:5);

end;
end;
end.
Остальные ответы
Leonid Высший разум (386011) 11 лет назад
Не уверен в справедливости исходной формулы.. .
Телесный угол измеряется по сфере. То есть это отношение площади "видимой" (в пределах телесного угла) части сферы к полной площади сферы. Плоский угол 2а в экстрапмоляции на пространство есть угол между двумя плоскостями. Ось которых, как я могу предположить, проходит через центр сферы. Тогда, если посмотреть на это всё "сверху" (то есть вдоль прямой, по которой пересекаются плоскости) , видно, что доля площади сферы, попавшей между плоскгостями, прямо пропорциональна плоскому углу. То есть соответствующий телесный угол должен быть (в принятых обозначениях) 4а.
Андрей Котоусов Искусственный Интеллект (178053) 11 лет назад
Конечно, неправильно. Формула Ω=2 π(1-cos(α)) справедлива для всей области определения α от 0 до π
Легко обнаружить, что в выражении Ω=2 π(1-SQRT(cos(α) cos(β))) под корнем оказывается отрицательная величина, когда один из углов больше π/2, а другой меньше. Формула приближенная, справедлива, если α и (β много меньше π/2.
Похожие вопросы
Также спрашивают