В чем разница между определением и аксиомой в геометрии?
Например, параллельные прямые не пересекаются - определение. Дальше есть аксиома «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой». Меняем аксиому и получим геометрию Римана, где параллельных прямых нет вообще.
Или, например, интуитивно аксиомы ZFC(система Цермело — Френкеля с аксиомой выбора) можно отнести к определениям, но это аксиомы
Так где же проходит эта грань между понятиями определение и аксиома?
Если просто, то примерно так:
А1, А2, А3...- объекты (понятия) принимаемые без определения (например: прямая, точка, плоскость, пространство...)
В1, В2, В3... - объекты (понятия), определяемые через объекты А1, А2, А3...
(например:окружность, квадрат, треугольник...)
Аксиомы - утверждения о взаимосвязи объектов А1, А2, А3..., В1, В2, В3,..,принимаемые без доказательств.
Теоремы - утверждения о взаимосвязи объектов А1, А2, А3,... В1, В2, В3,,..., которые можно вывести из аксиом или других теорем.
Парралельные прямые не пресекаются - это не аксиома а теорема. Доказательство которой выводится из условия, если секущая между двумя прямыми образует между этими двумя прямыми прямые углы - то такие прямые не пересекаются. Довольно неочевидная теорема, которая доказывается на уроках математике в школе в 7-м классе. Пункт 2 первый раз в жизни о таком слышу.
аксиома это пончтие не требующее пояснений, т.е. само собой разумеющееся