расскажите про верхний и нижний предел в математике

Предел подпоследовательности числовой последовательности называется частичным пределом послед-ти. Верхний предел - наибольший из частичных пределов. Нижний - наименьший из частичных пределов.

случается, что последовательность не сходится к одному числу, напр (-1)^n принимает последовательно 1 и -1, здесь 1 будет верхним, -1 - нижним. Может быть и больше частичных пределов, напр. sin(n*Pi/2) принимает
-1,0,1.
Не обязательно принимать значения, можно к ним стремится, напр
sin(n*Pi/2)+1/n.
Классически анализ проводим так: выбираем подпоследовательности (напр. x_{2n} и x_{2n+1}) и ищем предел по каждой. минимальный и будет нижним, максимальный - верхним.