Докажите, что если m и n - нечетные числа, то m2-n2 делится на 8
Пусть первое число 2m+1, второе число 2n+1,
тогда разность их квадратов можно представить в виде
(2m+1)^2-(2n+1)^2=(2m+1-2n-1)(2m+1+2n+1)=4(m-n)(m+n+1)
Если m и n оба четные или нечетные, то |m-n| четное число и кратно 2, а значит 4(m-n)(m+n+2) кратно 8.
Если из m и n одно четное, а другое нечетное, то m+n нечетное, а m+n+1 четное число и кратно 2, а значит 4(m-n)(m+n+2) также кратно 8
m²-n² = (m+n)(m-n), уж на это должно было хватить квалификации.
Смотрим дальше. Раз оба они нечётные, то и их сумма, и их разность будут чётными, итого имеем произведение двух чётных чисел, а значит, на 4 оно всяко должно делиться.
И петерь смотрим ещё дальше. Любое нечётное число можно представить в виде 2i+1. Ну пусть m = 2i+1, n=2k+1, тогда m+n = 2(i+k+1), n = 2(i-k), тогда (m+n)(m-n) = 4(i+k+1)(i-k). Видно, что чётность сомножителей (i+k+1) и (i-k) отличается на 1, а значит, один из них делится на 2. Вот как раз отсюда недостающая двойка и выползает.