Нужно найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверхность равна S.

площадь поверхности цилиндра равна S=2pir^2+2pirh (1), а его объем V=pir^2h (2). выразим h из (1) и подставим в (2) h=(S-2pir^2)/2pir,
V=(pir^2*S)/2pir-(2pi^2r^4)/2pir=Sr/2-pir^3. иследуем V на максимум, для этого стандартно возмем производную от V и приравняем ее 0.
V`=S/2-3pir^2=0, откуда r=корень из (S/6pi), подставим сюда S из (1), проведем сокращения и возведем обе части в квадрат, получим r^2=r^2/3+rh/3, отсюда h=2r. т. е. искомый цилиндр имеет высоту равную диаметру основания.