Математика! Помогите! √(21+√(21+√(21+√(21+⋯)) ) ) Очень НАДО!!!
Подскажите, как решить! Никак не получается! Плиз, с объяснением!
По дате
По рейтингу
Здравствуйте!
Пусть х_0 = корень (21). Пусть х_к = корень (21 + корень (х_{к-1})). Тогда легко доказать путем математической индукции, что последовательность {х_к} убывает. Так же известно, что х_к >= 0 для всех значений к. Из чего следует, что последовательность {х_к} сходится к кокому-то х. Получаем:
предел (х_к) = предел (корень (21 + корень (х_{к-1})))
Получаем
х = корень (21 + корен (х) ) ==> х^2 = 21 + корен (х) . Пусть у = корень (х) . Тогда получаем, что у^4 - у - 21 = 0. Пусть у_0 решение этого уравнения. Тогда решение вашей заданой последовательности = (у_0)^2.
Удачи!
В. Н. Е.
PS. Легко доказать, что 2 < у_0 < 3.