Все 8 вершин замкнутой пространственно несамопересекающиеся ломаной совпадают с вершинами куба.
Все 8 вершин замкнутой пространственно несамопересекающиеся ломаной совпадают с вершинами куба. Докажите, что у этой ломаной найдутся четыре звена одинаковой длины.
ДополненРешение: Все звенья ломаной — это либо рёбра куба (назовём их звеньями 1-го типа) , либо диагонали его граней (звенья 2-го типа) , либо диагонали куба (звенья третьего типа) . Так как любые две диагонали куба пересекаются, в ломаной нет двух звеньев третьего типа, значит звеньев первого и второго типов в сумме не менее семи. По принципу Дирихле звеньев какого-то типа не менее четырёх. Остаётся заметить, что звенья каждого типа равны между собой по длине.
А вот неочевидно.. . Ведь эта ломаная может проходить ВНЕ куба, и тогда возможны самые разные варианты.
А, блин, да.. . у неё ж вершины совпадают с вершинами куба....
Длина отрезков, составляюших ломаную, может принимать только три значения. Длина ребра куба, длина диагонали его грани и "большая" диагональ, когда соединяются две противоположные вершины куба.
Отрезок с длиной "болшой" диагонали может быть только один, иначе ломаная самопересекалась бы в центре куба. Остаются 7 отрезков, длины которых могут принимать тоьлко два значения. Но тогда по крайней мере четыре из них имеют одинаковую длину, чтд.