Как выглядит формула спирали? в декартовой системе координат (не в полярной)

Во-первых, спиралей куча.
Во-вторых, полярные координаты для того и вводятся, чтобы уравнение кривой было удобоваримо.
В-третьих, раз уж так горишь желанием, используй формулы перехода:

и записывай в параметрическом виде в декартовых координатах.