Что значит - "подмахивать"?

Поставить подпись не читая или не придавая значения важности документа.

одно из значений-Поставить свою подпись под чем л. ; подписать что л. наспех или не читая подписываемого.
или-http://dic.academic.ru/dic.nsf/ogegova/165854

Слова, даже самые на наш взгляд обычные, могут иметь такую историю, что и специально не придумаешь. Вот и словечко «подмахивать» оказывается не таким уж простым.

История начинается во Франции, в 17-18 веках. Именно там и тогда в среде высшей знати распространилась новая забава — разнообразные любовные отношения. Причём не какие-то там обычные, простонародные, а, разумеется, возвышенные — галантные, с кучей формальных правил и традиций. Чтобы было красиво и изысканно.

Среди многообразных правил галантного поведения существовал и особый «язык без слов»: о своих чувствах, выборе и предпочтениях можно и нужно было сообщать с помощью цветов, предметов и даже косметики (знаменитые «мушки»). Однако специальный выбор цветов, платочков и мушек лишь обозначал чувства и настроения, то есть женщина с их помощью лишь намекала и отвечала.

Активную роль во флирте и дальнейших более интимных отношениях позволял играть веер. Именно с его помощью женщина давала вполне не двусмысленные знаки: кто ей нравится, кого хотелось поощрить или даже пригласить на свидание и очертить, так сказать, пределы дозволенного — поцелуи, ласки или что-то более существенное.

Так что галантная девица или дама прекрасно умела «махать веером».

Довольно быстро в этой среде выражение «махать веером» стало обозначать активные действия женщины, за которой ухаживает кавалер. Потом дополнение про веер отпало, а слово «махать» или «махаться» приобрело два значения: «ухаживать за кем-то» и «принимать ухаживания, поощрять». А отсюда уже недалеко до пары: махать — в смысле «ухаживать» со стороны мужчины, и подмахивать (по аналогии с «поддакивать») — в смысле «соглашаться с ухаживаниями и активно их поощрять» со стороны женщины.

Русская знать в 18 веке буквально всё заимствовала у «более цивилизованных» французов — приобрела и галантные отношения вместе с присущим им языком. Им старались подражать разбогатевшие купцы и мещане; от них «изысканный язык» перенимала прислуга…

В общем словечки, что называется, «ушли в народ».

И обрели несколько иное значение — смысл сдвинулся к более интимной сфере, слова заменили собой более грубые и простые формы, обозначавшие сексуальные действия. Иными словами: «махаться» стало означать не «ухаживать», а «заниматься сексом»; пара «махается» использовалось уже не в значении «встречается», а просто и без затей — «состоит в половых отношениях».

Ещё позже слово «махать» применительно к паре вообще и мужчине в этой паре в частности из речи ушло, а половинка «подмахивать» как обозначение активной роли женщины — осталась.

Ну и видимо, вою роль этом закреплении смысла сыграла образность: в конце концов движения женщины в сексе, если она ведёт себя активно, стремится прижаться к мужчине, подаётся ему навстречу, очень даже соответствуют обычному значению слова «махать».