Что такое предложное и беспредложное дополнения в английском языке? Как их отличать?

Дополнение – член предложения, обозначающий получателей деятельности. Оно обычно идёт за сказуемым и предлогами. Выражается словами (существительное, местоимение, числительное, инфинитив, герундий) , комплексами и придаточными.

I phoned to Mary – Я позвонил Мэри

He said he had done it – Он сказал, что это его рук дело

I like your going there – Мне нравится, что ты туда наведываешься

Дополнение бывает предложным и беспредложным.

I saw her – Я увидел её

I looked at her – Я взглянул на неё

Прямое дополнение

Это беспредложное дополнение для людей или вещей как прямых участников деятельности, идущее за переходными глаголами.

I followed them there – Я последовал за ними туда

Глаголы ask, answer, teach, forgive, envy, strike, excuse принимают 2 прямых дополнения.

I asked him a question – Я задал ему вопрос

Forgive me my blunder – Простите мне мою ошибку
Косвенное дополнение

Косвенное дополнение обозначает получателей глагольной деятельности. Оно идёт между переходными глаголами и их прямым дополнением или за прямым дополнением с предлогом to.

I wrote him a letter – Я написал ему письмо

I wrote a letter to him – Я написал письмо ему

Косвенное дополнение следует за прямым, если:

прямое выражено it

I gave it to Peter – Я дал это Питеру

прямое выражено другими местоимениями, а косвенное - существительными

I sent them to their parents – Я отправил их к родителям

косвенное выражено длинной фразой

I gave the letter to the secretary sitting in the anteroom – Я отдал письмо секретарю, сидевшей в приёмной

Косвенному дополнению предшествует to после глаголов announce, attribute, ascribe, communicate, dedicate, dictate, disclose, explain, interpret, introduce, point out, relate, repeat, suggest, submit.

He dictated the letter to his secretary – Он продиктовал письмо своей секретарше

Предложное дополнение

Предложное дополнение обозначает людей или вещи, косвенное участвующих в деятельности. Оно идёт за непереходными глаголами или их прямым дополнением.

I took a book for her at the library – В библиотеке я взял для неё книгу

The sailor was quickly joined by his companion – К моряку тут же присоединился напарник

I understood that it had been opened with a key – Я понял, что её уже открыли ключом
Родственное дополнение

Это формальное беспредложное полудополнение как определение глагольной деятельности. Обычно оно однокоренно со своими непереходными глаголами.

He smiled a happy smile – Он расплылся в довольной улыбке

The dog barked an angry bark – Собака разразилась сердитым лаем
Сложное дополнение

Восприятийный глагол (see, hear, feel, watch, notice, observe) + прямое дополнение + чистый простой инфинитив / причастие
Простой инфинитив после прямого дополнения обозначает совершённую деятельность его глагола.

I heard him ask this question – Я слышал, что он задал этот вопрос

Настоящее причастие после прямого дополнения обозначает текущую деятельность его глагола.

I heard him asking the question – Я слышал, как он задавал это вопрос

Страдательное причастие после прямого дополнения обозначает текущую пассивность его глагола.

I heard the question being asked – Я слышал, как задавали вопрос

Прошедшее причастие после прямого дополнения обозначает совершённую пассивность его глагола.

I heard the question asked and the answer given – Я слышал, что задали вопрос и дали ответ

Умственный глагол (know, think, consider, believe, suppose, expect, find…) + прямое дополнение + инфинитив

We supposed him to be strong – Мы полагали, что он силён

think/consider/find + прямое дополнение + прилагательное / существительное (фраза)

http://www.lovelylanguage.ru/grammar/rules/515-object-in-english