Как правильно написать" вследствии дождя,вследствие дождя или в следствие,в следствии"??

Вследствие дождя. В данном случае это предлог.

Есть хороший сайт Грамота. ру
Вбивайте туда любое слово, вызывающее сомнение, получайте ответ и будет Вам счастье.

Вследствие дождя дело разбухло, и лишь впоследствии выявились изъяны по причине упомянутого в следствии дождя, о чём и будет доложено - опять-таки впоследствии!