Чем так важен второй замечательный предел?

Оба замечательных предела устанавливают наличие определённой связи между алгебраическими и тригонометрическими функциями (1й зам. предел) , и между алгебраическими и показательными функциями (2й зам. пр.) . Ранее все эти три функциональных множества выглядели совершенно независимыми.
А вообще, ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ - есть фундамент, на котором построен весь (!) мат. анализ, а следовательно - и теория разложения в ряды, и дифф. уравнения и прочие ТФКП.. . То есть - всей точной науки 19-го и частично 20-го вв. Иногда бывает жаль, что как-то не принято ставить памятников достижениям человеческого интеллекта. Не так их и много. . куда меньше, чем всяческих полководцев, генералиссимусов, фюреров, лидеров и пр. и пр. и пр.. .
Поподробнее? Ну выше уже написана одна из двух редакций 2го зам. пр. Прямо из него следует
lim[y->0](1+xy)^(1/y)=exp(x). То-есть предел чисто алгебраической функции оказывается уже ф-цией показательной.
Далее, lim[y->0]sin(xy)/y=x - обратный переход, от тригонометрии к алгебре.
Ещё далее, развивается теория разложения вообще всех (!) гладких ф-ций в бесконечные степенные ряды.
Далее уже на этой основе был построен функциональный анализ.