В любой четырёхугольник можно вписать не более одной окружности?
Да. Доводы такие. Центр вписанной окружности должен находиться на биссектрисах каждого из 4х углов. Значит, если предположить, что вписанных окружностей - две, то центры их необходимо совпадают.
Далее, расстояния от сторон 4-угольника до центра одинаковы, поэтому и радиусы должны быть равны. След-но, окружности совпадают.
Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой») , должен быть выпуклым.
В выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: .
Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона) . На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения противоположных сторон четырёхугольника. Эта прямая называется прямой Гаусса. Центр вписанной в четырёхугольник окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).