Могу ли я водить машину, если я не забрал права с гаи, но сдал все экзамены, и мне осталось их забрать.

Нет! не можешь, пока не заберешь их с ГИБДД. Там еще и не известно есть ли вы в базе или нет? Остановит гаишник, штраф было 100 руб, сейчас вроде повысили с 1 сентября!
Если вы забыли права дома, остановил Гаишник для проверки документов, говорите что есть права проверьте в базе, он обязан проверить, продолжить после этого вы движение не сможете, вас домой за правами отправят, а машину либо на штраф стоянку, либо она вас будет на том месте ждать где остановили.