Нужно ли разрешение отца на выезд ребёнка за границу с мамой и (если да) что дпя этого нужно?

Если Вы гражданка РФ, то следует раазличать
- выезд из РФ
- въезд в другую страну.
Обычно требуется и то, и другое, но в первом случае действуют нормы РФ, а во втором - страны въезда.

(1)
Для выезда ребенка гражданина РФ из РФ с мамой разрешение второго родителя НЕ НУЖНО.
Пропуск через границу РФ осуществляется сотрудниками Пограничной службы РФ (почему то многие считают, что тваможенниками - таможня контролирует только перемещение через границу вещей и валюты) .
ВОТ ОФИЦИАЛЬНОЕ РАЗЪЯСНЕНИЕ ПОГРАНСЛУЖБЫ РФ (я его специально запросил и повесил в ИНТЕРНЕТ, устав отвечать на подобные вопросы и ввиду полного невежества большинства уважаемых сограждан - в погранслужбе, если позвоните по их телефонам, также устали от этого невежества сограждан) . Вы его можете распечатать и тыкнуть при возникновении вопроса любому пограничнику. Если он будет туп, вызовите его начальника, он будет умнее. В крайнем случае (ни разу не было) звоните мне 89166204649 в любое время

http://www.adybov.ru/auto/img/pismo_FSB.jpg

(2) Въезд в другую страну.
Вот для въезда в другую страну разрешение второго родителя может потребоваться, а может и нет, в зависимости от того, куда едете.
Не нужно рвазрешение второго родителя при поездке наа Украину, в Турцию, Египет и множество других стран, где виза не требуется или выдается на месте при въезде.
Разрешение нужно ПРИ ПОЛУЧЕНИИ ВИЗЫ в страны Шенгена и некоторые другие (именно - при получении визы, при самом въезде его не спрашивают) .
Поэтому зайдите зааранее на сайт посольства страны, ккуда собираеетесь ехать, и выясните этот вопрос.