чем является слово по мере в предложении: по мере приближения к Москве Ростов приходил более в нетерпение

ПО МЕРЕ – производный предлог . Он образован из существительного МЕРА с непроизводным предлогом В. Доказать принадлежность слова ПО МЕРЕ к производным предлогам просто:
★ этот предлог употреблён с родительным падежом существительного ПРИБЛИЖЕНИЕ (большинство производных предлогов употребляется именно с родительным падежом);
★ с его помощью можно к существительному задать падежный вопрос: ПО МЕРЕ ЧЕГО? по мере приближения.

Сами по себе ПРЕДЛОГИ, даже производные, членами предложения НЕ ЯВЛЯЮТСЯ, но они ВСЕГДА ВХОДЯТ в состав того члена предложения, которым является существительное, местоимение или числительное, с которым употреблены, так как падежная форма в таком случае образуется не одним только окончанием, но и с помощью предлога. Так что, сам по себе членом предложения не являясь, предлог ПО МЕРЕ в данном предложении ВХОДИТ В СОСТАВ ОБСТОЯТЕЛЬСТВА ВРЕМЕНИ, так как именно таким членом предложения является существительное, с которым этот предлог употреблён: приходил в нетерпение КОГДА? по мере приближения.