Онованием пирамиды является правильный треугольник со стороной 1 см. В пирамиду вписан шар.

Замечание предыдущему автору: утверждение о том, что объём будет максимальным у шара, центр которого проецируется в центр основания (т. е. вершина пирамиды проецируется в центр основания) , требует доказательства.

Если обозначить высоту пирамиды за h, а расстояния от ортогональной проекции вершины на основание до сторон основания за a, b, c (эти расстояния рассматриваются как алгебраические величины, т. е. одно или два из этих чисел могут быть равны нулю или отрицательными) , то радиус вписанного шара равен

(1) r = h/[1 + (2/√3)(√(h²+a²) + √(h²+b²) + √(h²+c²))],
a+b+c = √3/2
(вывод формулы см. на рисунке: )

и задача сводится к нахождению наибольшего значения r в зависимости от a, b, c (при выполнении условия a+b+c=√3/2).

Рассмотрим поведение этой функции:
1) если a, b, c фиксированы, то r можно рассматривать как функцию от h. Найдём её производную:
dr/dh = 3/[√3 + 2(√(h²+a²) + √(h²+b²) + √(h²+c²))]² • (√3 + 2a²/√(h²+a²) + 2b²/√(h²+b²) + 2c²/√(h²+c²))
Как видно, r'(h)>0 при любых значениях a,b, c и h ⇒ r(h) строго монотонно возрастает.
r(h=0) = 0;
lim r(h) = 1/(2√3) — не зависит от a, b, c.
h→∞
r_max = 1/(2√3)

2) таким образом, максимальный объём шара (не достижимый, поскольку h→∞) составляет
V_max = (4/3)π(r_max)³ = (4/3)π/(24√3) = π/(18√3) = π√3/54

ОТВЕТ: максимальный объём шара составляет π√3/54