Почему именно синусоида?

Она "особенная" только в том смысле, что это удобный ортогональный базис. для представления ЛЮБЫХ периодических функций
А удобна она именно формулой Эйлера, которую Вы пытаетесь вспомнить)))

Дело в том, что синусоиды являются решениями линейных дифференциальных уравнений, а такими уравнениями описывается множество физических систем.

Так устроена природа) никакого объяснения тут не может быть, а уж решения диф. уравнений, так сказать, следствие...

многие кстати не понимают вообще "что это такое нарисовано" так сказать :-) синусоиду рисуют просто чтобы математику было понятно что величина (чего угодно кстати) меняется по такому именно закону, а совпадение качающегося маятника и то что он рисует на листе это туповатое представление; можно вообще представить её спиралью если ось X от вас в пространство напр.

Она не столько "удобна" (удобны, каждая по-своему, почти все функции) , сколько обладает одним фундаментальным математическим свойством, которое в физических терминах описывается так: ускорение пропорционально отклонению и направлено к точке равновесия системы (т. е. против отклонения) .
Поскольку ускорение - это вторая производная от отклонения, то если вернуться к математике, получится простое дифференциальное уравнение: х" = -kх, где х" - вторая производная по времени (т. е. ускорение) , а k - коэффициент пропорциональности, который считается положительным, чтоб ускорение и было направлено против отклонения. И вот решением такого дифференциального уравнения и будут являться синус и косинус с угловой частотой, равной корню из k.
А это как раз множество процессов. В маятнике возвращающая сила пропорциональна отклонению - а сила, по второму закону Ньютона, как раз и даёт ускорение. В колебательном контуре то же самое - хотя процессы в нём чаще всего рассматриваются с помощью копмлексных величин, но елси переписать это всё "честно", во временнóй области, то выяснится, что напряжение на конденсаторе пропроционально своей второй производной.

ВОТ ИЗ-ЗА ЭТОГО, из-за того, что простенькое дифференциальное уравнение описывает вликое множество процессов, и что решением этого уравнения являются гармонические функции, они и имеют такое широкое распространение.
Добавление к ответу Кролика: формула Эйлера (она же тригонометрическая единица, если я праально понял) - это опять же не вопрос удобства, а тупо эквивалент закона сохранения энергии в колебательных процессах. Тоже, между прочим, не хрен собачий...

Синусоида, это "ипостась" КРУГА (цикла) там, где есть синусоида, там есть круг. Круг - одна из простейших фигур, не удивительно, что он везде встречается. Не знаю, как словами передать "краеугольность", фундаментальность КРУГА в Мироздании (во загнул) . Может, математики смогут. :-/

может дело в том, что природа описывается в дифференциальных уравнениях первой-второй степени. Причем почти всегда - в линейных. ну, так уж она устроена.
Даже 2-й закон Ньютона - уже дифференциальное уравнение Fdt=dP.

Решение дифференциального уравнения всегда сумма решения однородного ( с нулем справа) и частного.

Решение линейного однородного дифура 1-й степени - экспонента. По ней происходит, например, обмен. теплом между телами, по ней заряжается-разряжается конденсатор.
Решение дифура 2-й степени - синус/косинус или та же экспонента (зависит от знака. Это уже все колебания, движения по кругу.

Кстати, если перейти к комплексным числам, то экспонента и синусы-косинусы оказываются одной экспонентой с разными знаками.

Поэтому и вылезают все время то экспоненты, то тригонометрия, то число Пи, то число е.

Мне нравится один пример: задачка про пружинное ружье, стреляющее шариками. Если считать пружину невесомой, то время разгона шарика что-то типа 2 Пи на корень из (m/k), где m - масса пульки, а k - жесткость пружины. Посмотрите, никаких тут движений по кругу нет - а откуда вылезает Пи?? ? Оттуда, что это дифур колебания, пока шарик не оторвался в свободный полет - это пружинный маятник.