Найти общее решение дифференциального уравнения y''-3y'+2y=xe^(2x)

Решим соответствующее однородное уравнение y''-3y'+2y=0
Составим характеристический многочлен

k^2-3k+2=0

k1=1 k2=2, оба кратности 1

Общее решение однородного уравнения

y1=C1*e+C2*e^2

Найдем частное решение исходного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов

z=2+0i

z=k2=>ищем частное решение в виде

y2=x*(Ax+B)e^2x=e^2x(Ax^2+Bx)

y2'=2e^2x(Ax^2+Bx)+e^2x(2Ax+B)=e^2x(2Ax^2+2(B+A)x+B)

y2''=2e^2x((2Ax^2+2(B+A)x+B)+e^2x(4Ax+2(A+B))

Подставим в исходное уравнение

2e^2x((2Ax^2+2(B+A)x+B)+e^2x(4Ax+2(A+B))-3*(2e^2x(Ax^2+Bx)+e^2x(2Ax+B)=e^2x(2Ax^2+2(B+A)x+B))+2*(e^2x(Ax^2+Bx))=xe^2x

A=1/2

B=-1

y2=(x^2*e^2x)/2-xe^2x

Решение исходного неоднородного уравнения

y=y1+y2=C1*e+C2*e^2+(x^2*e^2x)/2-xe^2x