Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции f(x)= x^2/(x-2)

У меня получилось такое решения, прошу проверьте! 1)Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1 = 2
2)Точки пересечения
Точки пересечения с осью координат Xя с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2
x
-----= 0
x - 2
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1 = 0
Численное решение
x1 = 0
3)Точки пересечения
Точки пересечения с осью координат Yс осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2/(x - 2).
2
0
--
-2
Результат:
f(0) = 0
Точка:
(0, 0)
4)График функции

рис. 1

5)Экстремумы функции
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы,
нужно решить уравнение
d
--(f(x)) = 0
dx
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
d
--(f(x)) =
dx
2
x 2*x
- --------+ -----= 0
2 x - 2
(x - 2)
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1 = 0
x2 = 4
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
(4, 8)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим, как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2 = 4
Максимумы функции в точках:
x2 = 0
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [4, oo)
Возрастает на промежутках
[0, 4]
6)Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
2
d
---(f(x)) = 0
2
dx
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
2
d
---(f(x)) =
2
dx
/ 2 \
| x 2*x |
2*|1 + ---------- ------|
| 2 -2 + x|
\ (-2 + x) /
--------------------------= 0
-2 + x
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
7)Вертикальные асимптоты
Есть:
x1 = 2
8)Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции
при x->+oo и x->-oo
2
x
lim -----= -oo
x->-oox - 2
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
2
x
lim -----= oo
x->oox - 2
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

9)Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2/(x - 2), делённой на x при x->+oo и x->-oo

x
lim -----= 1
x->-oox - 2
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y = x
x
lim -----= 1
x->oox - 2
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y = x
10)Чётность
Чётность и нечётность функциии нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2 2
x x
--------= ---------
1 1
(x - 2) (-2 - x)
- Нет
2 2
x x
--------= - ---------
1 1
(x - 2) (-2 - x)
- Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной.