Механический и геометрический смысл второй производной

Механический.
Ускорение прямолинейного движения точки есть вторая производная координаты по времени.
Геометрический.
Знак второй производной наглядно отражает "вид" кривизны: вогнутость или выпуклость.
Мы обычно запоминали через рожицы:
:-) f''>0
:-( f''<0
"изгиб губ" описывает вид кривой в окрестности точки