Что такое число PHI?И, как оно связано с последовательностью Фибоначчи?

Ответят еще как.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Числа_Фибоначчи
См. Формулу Бине.
Число PHI - это не что иное, как золотое сечение.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Золотое_сечение
А связь это числа с числом Фибоначчи иллюстрируется лучше всего таким образом. Если взять разложение 1/phi в цепную дробь (http://ru.wikipedia.org/wiki/Непрерывная_дробь):
1/phi = 1/(1+1/(1+1/(1+...)))
и построить "подходящие дроби", откидывая "хвосты", то можно получить ряд чисел:
1; 1/(1+1/1) = 1/2; 1/(1+1/(1+1/1)) = 2/3; 1/(1+1/(1+1/(1+1/1))) = 3/5
Продолжая в том же духе, получим ряд подходящих дробей:
1; 1/2; 2/3; 3/5; 5/8; 8/13; 13/21; 21/34; 34/55; 55/89; 89/144; 144/233 ...
В этом ряду каждый знаменатель становится числителем у следующей дроби. Числители и знаменатели образуют ряд Фибоначчи:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144 ...
Так как приближение к 1/phi можно начинать с любых двух чисел, то можно сразу увидеть разгадку следующего фокуса.
Попросите двух человек написать на длинной бумажке два любых числа одно под другим, а третьего - подсчитать и записать их сумму; опять перегните бумажку и повторите просьбу сложить два числа. Повторив эту операцию раз 10-15, попросите разделить предпоследнее число на последнее (с точностью, скажем, до трех знаков) . Результат вы можете предсказать заранее: он будет 0.618!

Наконец, составим последовательность равенств: (^ - символ возведения в степень)

phi + phi^2 = 1
2*phi^2 + phi^3 = 1
3*phi^3 + 2*phi^4 = 1
5*phi^4 + 3*phi^5 = 1
8*phi^5 + 5*phi^4 = 1
13*phi^6 + 8*phi^5 = 1
21*phi^7 + 13*phi^6 = 1
...

И здесь коэффициенты - члены ряда Фибоначчи!