В чем разница в употреблении : another, the other, other?
Дедуля буквально на пальцах объясняет. Очень наглядно и доходчиво.
https://www.youtube.com/watch?v=n-ngaVJTDR0
another - другой, ещё один, ещё-какой-то (единственное число, то есть употребляется с существительным в единственным числе)
another
another book
I wouldn't like to read this book. There are so many books on your shelf. Give me another//another book//another one.
the other - другой (из двух предметов), оставшийся (единственное число)
the other
the other book
There are two books on the shelf. I don't want this one. Give me the other//the other book/the other one.
Во множественном числе
other(s) - другие, ещё какие-то
others
other books
There are so many books on the shelf. I've read only three of them. I'd like to read some othes//other books//other ones.
the other(s) - другие из оставшихся
the others
the other books
There are five books in my bag. Three of them are mine. The others//the other books//the other ones are my sister's.

another = an other. Просто их решили писать слитно.
В остальном правила такие же, как при употреблении артиклей.
another - другой (но неизвестно какой именно). other - другой (известно какой, например другой из имеющихся двух предметов...). Что касается the, то надо по контексту смотреть...