ABCD-трапеция. AD-16 cm, AB=CD=10 cm, угол А - углу D =60 градусов. Найти наименьшее основание.

уг. А = уг. Д, значит, равнобедренная трапеция, большее основание - АД
Проведем две высоты: ВН и СН1.

Рассмотрим один из получившихся треугольников (например, АВН)
уг. Н = 90 градусов. уг. АВН = 90гр. - уг. А = 30гр.
Аналогично в тр-ке СДН1 : уг. Н1СД = 90 гр - уг. Д = 30 гр.
Отсюда тр-к АВН = тр-к СДН1 по второму признаку (АВ = СД, уг. А = уг. Д по условию, уг. АВН = уг. СДН1 = 30 гр.) , значит, АН = Н1Д

Вернемся к треугольнику АВН.
Согласно одной из теорем, катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, значит, АН = 1/2АВ = 10/2 = 5 см.
АН = Н1Д = 5см.
НН1 = АД - (АН + Н1Д) = 6см.
АД||ВС (основания трапеции) , ВН||CH1 (высоты, обе перпендикулярны АД) ,
значит, ВНН1С - параллелограмм, ВС = НН1 = 6см
Ответ. ВС = 6см