Может ли пенсионер работать по трудовому договору?

да

Главное, чтобы был заключён трудовой договор и работодатель платил взносы в ПФО, ФСС, Медстрах и зарплату. книжку, если надо, работодатель новую выпишет. Ограничений нет.

Нет.
Если трудоустройство, как Вы говорите, по трудовому договору, то работодатель ОБЯЗАН сделать запись в трудовую книжку. Это требование Кодекса- ст. 66 ТК - Работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной.

Люди! Я удивляюсь вам - что значит работать по трудовому договору? Если организация нормальная, то НА ВСЕХ работников оформляют трудовые договоры. Если человек отработал более трех дней ему обязаны сделать запись в трудовой книжке, даже если договор срочный. К стати с пенсионерами по возрасту можно заключать срочные трудовые договоры на срок до 1 года.
Если без записи - то это договор гражданско-правового характера, т. е. договор подряда/возмездного оказания услуг. Но его еще надо грамотно оформить, каждый месяц. Актами закрывать. Но при этом не будет больничных и отпусков.
Так скажите, о чем вы говорите?

По трудовому договору пенсионер работать вправе. Но при этом внесение записи о работе в трудовую книжку обязательно.

Конечно имеет. Уведомите Пенсионный фонд и всего то делов. Но учтите, если Вы получаете "минималку" за счет "надбавок", эти самые "надбавки" Вам снимут и ещё- пенсия не будет индексироваться.