В одной моются русские, в другой - фины :) ну а если серьёзно, то не очень многим отличаются. Вот на сайте
http://kosmetsovet.com/telo/protseduryi-dlya-tela/banya-i-sauna/finskaya-sauna.html#i-3 говорится, что "Финская сауна и русская баня различаются условиями: пар (в русской – влажный, в финской – сухой); температура (в русской – умеренный жар, в финской – сильный жар); веник (в финской – не используется, в русской – обязательный атрибут)."