могут ли понизить в должности переезде работника в другой город

за вами же закреплено место в другом городе и филиале, перевода у вас не было, вы самовольно переехали.

да, правомерно. вам вообще не обязаны в другом городе рабочее место предоставлять. на период отпуска по уходу за ребенком до 3х лет за вами сохраняется ваше рабочее место и должность там, где вы работали, а перевод в другой город - это на усмотрение работодателя, даже при наличии вакансий он вам имеет полное право отказать, не желаете на свое рабочее место возвращаться - увольняйтесь и езжайте, куда хотите, трудовое законодательство РФ не предусматривает обязанности работодателя обеспечивать вам рабочие места в других населенных пунктах даже не смотря на то, что у него имеются там подразделения. так, что вам выбирать:
- соглашаться на то, что предлагают
- возвращаться туда, откуда приехали и выходить на свое рабочее место
- уволиться и искать другую работу