Решить уравнения в целых числах
Решить уравнения в целых числах
10 уравнений
5x+4y=11
11-4y≡0(mod 5)
-4y≡-11(mod 5); y≡-1(mod 5); y=5t-1, 5x+20t-4=11; 5x=15-20t, x=3-4t
{x=3-4t
{y=5t-1
------------
5x+7y=4
4-7y≡0(mod 5); 7y≡4(mod 5); y≡2(mod 5); y=5t+2
5x+35t+14=4; 5x=-10-35t, x=-2-7t
{x=-2-7t
{y=5t+2
--------
x²-y²+2y=8
x²-y²+2y-1=8-1
x²-(y-1)²=7
(x-y+1)(x+y-1)=7
(a)
{x-y+1=±1
{x+y-1=±7
x₁=±4; y₁=±4
(b)
{x-y+1=±7
{x+y-1=±1
x₂=±4; y₂=-(±2)
(4;4); (-4;-4); (4;-2);(-4;2)
------------
4, 9 как на олимпиаде по математике (11 класс)
x^2 + 3xy + 2y^2 = 3
x^2 +4xy + 4y^2 - xy - 2y^2 = 3
(x + 2y)^2 - y(x+2y) = 3
(x+2y)(x+2y-y) = 3
(x+2y)(x+y)=3
(х+2у) = 3, х+у = 1 (х = 1-у)
1-у+2у = 3
1 - у = 3
-у = 2
у = -2
(х - 4)(х -2) = 3
х^2 - 2x -4x + 8 -3 = 0
x^2 - 6x + 5 = 0
D = 36 - 20 = 16
x1 = (6-4)/2 =1
x2 = 10/2 = 5 (корни соответственно: (1;-2), (5;-2) )
(х+2у) (х+у) = 3
(5+2у) (5+у) =3
25 +5у + 10у + 2у^2 -3 = 0
2y^2 + 15y + 22 = 0
D = 225 - 176 = 49
y1 = (-15-7)/4 = 5.5 ( не соответствует условию)
y2 = -2 ( норм)
Ответ: (1;-2), (5;-2)
разве что методом подбора решить