Решите задачу по геометрии
1. Найдите наибольший объём правильной треугольной пирамиды, апофема которой равна 2√3 дм
2. Найдите наибольший объём правильной треугольной пирамиды, периметр боковой грани которой равен 6 дм
В комментарии еще два способа (хотя в принципе они одинаковые
Не надо бояться размышлений и труда.
Пусть х высота, опущенная на центр основания со стороной а. Тогда от центра основания до стороны основания
расстояние р =корень (12-х^2) по Пифагору., и это треть высоты основания.
Площадь основания S=(a/2)*3p.
Объем V=Sx/3 =(a/2)*3px/3= (a/2)px=(a/2)x*корень (12-х^2)
Максимум объема достигается, когда производная объема равна нулю.
Производная объема (a/2)* (12-2x^2)/корень (12-x^2) =0
то есть (12-2x^2)= 0
x=корень (6)
При этом сторона а хотя и выглядит независимым масштабирующим множителем, но на самом деле она тоже зависит
от р.
а=2p*корень (3), Значит а зависит и от х.
V= (a/2)*px=p*корень (3)*px=корень (3)*x*p^2 = корень (3)*х*(12-x^2)= корень (3)*корень (6)*(12-6)=18*корень (2)=25,456.
Заметим, что апофема меняла положение от горизонтального до вертикального, становясь высотой при нулевом объёме.
Во второй задаче апофема меняет кроме положения и длину. Вначале она равна р = 6/ (4+2V3), а становясь вертикально, она станет равна 3.
Нужно так же составить уравнение объема в зависимости от переменной апофемы ( или от высоты, или через р, или через а), производную объема приравнять к нулю, чтобы найти при каком значении этой переменной объем максимален.
А затем найти и сам объем.
