Как ухаживать за луковичками лилии?

То, что было указано на упаковке с ваших слов, в корне не верно.
Во-первых, комнатных лилий не существует. Это садовые лилии, которые при правильном содержании можно выращивать дома в горшке.
Во-вторых, сразу после цветения луковицы лилий не пересаживают.
И в-третьих, цвести лилия будет только раз в год. В крайнем случае немного раньше.

Теперь подробнее.
Растение после того, как отцветет, не трогают... продолжают ухаживать, постепенно сокращая поливы до того момента, когда ствол и листья побуреют. Это ОБЯЗАТЕЛЬНО! В это время все накопленные в листьях и стеблях питательные вещества переходят в луковицы. Иначе обрезанная или выкопанная раньше времени луковица будет слабой, более подверженная болезням и мало способная для последующего цветения.

После отмирания надземной части луковицы перестают поливать, а спустя 2 недели их выкапывают, обрабатывают в марганцовке или Максиме и укладывают на хранение.
Хранят луковицы в перфорированном пакете с торфом или опилками в холодном месте (холодильнике) до посадки в начале весны. При этом периодически проверять качество луковиц на предмет гнилей и усыхания.
Если есть лампы досвечивания, то сажать можно раньше... зимой.

Более подробно (почва, размер горшка, требования к влаге и освещению и т. д.) о содержании "комнатных" лилий можете прочитать в интернете.
Хотя бы здесь https://www.ogorod.ru/ru/outdoor/bulbs/13695/Vyrashhivanie-lilij-v-kontejnerah-i-gorshkah-vse-chto-vy-hoteli-znat.htm
https://7dach.ru/bogdan89505656896/mozhno-li-doma-rastit-lilii-48717.html

_____________
Раз уж посадили, то ставьте горшок в холодное место (холодильник, подвал).
Холодный период покоя ОБЯЗАТЕЛЕН!