Надо ли платить монтажнику за провод интернета?

все бесплатно, даже когда перед посещением монтера звонят из компании и говорят невздумайте платить за кабель

Извращается народ в ответах.
А есть договор с провайдером или оператором. Его и нужно ВНИМАТЕЛЬНО читать. Желательно ДО того как подписываете.
Чаще всего (как предусмотрено законом), кабельные сети принадлежат провайдеру и в договоре прописано, что именно провайдер несёт ответственность и расходы по прокладке, ремонту и обслуживанию СВОИХ кабельных сетей. Далее, в договоре, описано разграничение кабельной сети. Чаще всего точка разграничения назначается у точки подключения. Это может быть непосредственно одиночный компьютер или же роутер обеспечивающий работу домашней сети. За кабели домашней сети платите Вы.
Читайте договор. Там всё есть. И мне не известно что там у Вас написано.

Не должно быть никаких сомнений, просто прочитай договор

Если прокладка кабеля включена в услугу "подключения", то нет, монтажник обязан за стоимость подключения предоставить кабель... бывает и роутер, утверждать в вашем случае не буду... поднимите договор о подключении, там должно быть все расписано