Задача: "Дан ряд положительных чисел х1, х2, … , хN, где N - чётное число. Определить значение выражения...
...s^2= (-х1+х2- … +хN)^2 (т. е. знаки перед слагаемыми попеременно становятся "минус" и "плюс"), если х1= х2= …= хN= λ".
Ваня задачу решил так: "s^2= (-λ+λ- … +λ)^2; поскольку λ со знаками "-" и "+" встречаются по N/2 раз, то сумма в скобках равна нулю. Следовательно, s^2= 0".
Петя же решил так: "Возводим многочлен в квадрат: s^2= х1^2+х2^2+ … +хN^2-2х1х2+2х1х3- …-2х (N-1)хN. Первые N слагаемые положительны; поскольку числа хi со знаками "-" и "+" встречаются одинаково часто, то и числа смешанных произведений 2xixk с разными знаками будут равными, вследствие чего будут взаимно уничтожаться. В итоге получим: s^2= x1^2+x2^2+ … +xN^2= Nλ^2".
Кто из них решил верно?
В Факультативном курсе ( https://otvet.mail.ru/question/214349720 ) при изучении диффузионного перемещения молекулы применён "петин метод" и получен верный ответ: s^2= Nλ^2 (кстати, не Nλ^2/2, как предлагает Swarbhānʊ). Если бы авторы учебного пособия исходили из "ванина метода", то получили бы s^2= 0, что неверно.
Как разрешили бы сей парадокс?
Мой подход таков: в случае диффузии авторам следовало бы рассматривать ВСЕВОЗМОЖНЫЕ пробеги молекулы, а не только такие, в которых изменения координат происходят одинакоо часто и в сторону увеличения, и в сторону уменьшения. Поясню это на примере 3-х пробегов (N= 3). Ниже слева направо: 1) возможные суммы; 2) число квадратов хi^2; 3) смешанные произв.; 4) число полож. смеш. произв с учётом коэф. 2; 5) число отр. смеш. произв. с учётом коэф. 2:
а) -х1-х2-х3****3****+2х1х2+2х1х3+2х2х3****6****0
б) -х1-х2+х3***3*****+2х1х2-2х1х3-2х2х3****2****4
в) -х1+х2-х3***3*****-2х1х2+2х1х3+2х2х3****2****4
г) -х1+х2+х3***3*****-2х1х2-2х1х3+2х2х3****2****4
д) +х1-х2-х3***3*****-2х1х2-2х1х3+2х2х3****2****4
е) +х1-х2+х3***3****-2х1х2+2х1х3-2х2х3****2****4
ж) +х1+х2-х3***3****+2х1х2-2х1х3-2х2х3****2****4
з) +х1+х2+х3***3****+2хх2+2х1х3+2х2х3****6****0.
Сумма квадратов (2-го столбца) 24, в среднем 24/8= 3= N.
Сумма полож. смеш. произв. (4-й столбец) 24, отр. смеш. произв. (5-й столбец) 24. Взаимно "уничтожаются, в результате получаем s^2= Nλ^2.
Забыл указать ещё: "плюсы" и "минусы" столбца 1 тоже равны - по 12 шт. Иначе говоря, "и овцы целы, и волки сыты".
Данный вопрос (говорю про диффузию) был приведён в книге авторов 1978 г. издания. Свои соображения по нему (которые привёл выше) я написал в издательство, а потом в ж-л "Физика в школе", в начале 80-х годов. Но ответа не получил. Вывод перекочевал в издание 1986 года без изменения (хотя в новом издании был учтён ряд других моих замечаний).
Кстати, позднее свой вариант подхода я встретил в ж-ле "Квант", но, разумеется, более доходчиво. Там, возможно (не помню), данные соображения доказывались для произвольного числа пробегов молекулы (журнал, к сожалению, у меня не сохранился)...
Ваня, поскольку Петино решение для λ=1 и N=2 неверно, а третьего варианта решения не дано.
Странный вопрос, тем более он и не задан. Я б совсем уж "на пальцах" пропорциональность среднеквадратичного отклонения квадрату длины промежутка времени объяснял бы так.
Пусть у нас есть большой промежуток времени, мы его разбили на много маленьких;
Пусть X1, X2, ..Xn- случайные приращения координаты молекулы на промежутках разбиения.
Если минимальный шаг разбиения значительно больше среднего/среднеквдаратичного времени свободного пробега частицы, то матрицу ковариации вектора { X1, ..Xn } можно считать диагональной.
Тогда имеем:
D(X1 + X2 + .+Xn) = cov(X1 + .+Xn, X1 + .+Xn) = sum D(Xi) по i от 1 до n
А дисперсия здесь - квадрат интересующего нас среднеквадратичного отклонения, имеющего размерность длины.
Я бы ответил, что в среднем s^2=λ^2/2, потому что в зависимости от четности N точное значение s^2 будет либо 0, либо λ^2.