Чему равен несобственный интеграл первого рода (от -бесконечности до +бесконечности) функции f(x) по dx? см. внутри.

Question

Чему равен несобственный интеграл первого рода (от -бесконечности до +бесконечности) функции f(x) по dx? см. внутри.

Хоменко Максим Сергеевич Гуру (2797), на голосовании 5 лет назад

f(x)= { x <= -2: 1,
-2 < x <= -1: 0,
-1 < x <= 0: 1,
0 < x : -1}
Возможные варианты ответа:
1) -1, т. к. розовый квадратик с площадью=1 в интервале x (-2,-1] выбросили и образовался провал, а до этого розовая (положительная) площадь уравновешивала голубую (отрицательную) и потому интеграл был равен нулю.
2) 0, т. к. провал можно не меняя суммарной площади переместить к центру, и будут уравновешенные площади розовая и голубая.
3) Любое действительное число может быть значением этого интеграла, возможно даже ещё + или - бесконечность.
4) Возможно по каким то аксиомам в общепринятой математике брать такой интеграл нельзя, также как нельзя делить на ноль.
5) Другой вариант, который не приведён выше, пожалуйста напишите подробней правильный вариант, т. е. значение данного интеграла и пояснение почему оно такое.

Answer 1

Несобственные интегралы от минус до плюс бесконечности тем забавны, что их границы - не числа, а пределы, и собственно, определять весь интеграл нужно через предел. И есть такое понятие, как несобственный интеграл в смысле главного значения (обозначается V. p.), приняв его за эталон, можно дать однозначный ответ на ваш вопрос (1 вариант), а иначе - никак.
Проблема возникает в том, что мы не можем начать считать интеграл от минус бесконечности или от плюс бесконечности влево. Мы считаем симметричный интеграл относительно нуля, равномерно увеличивая его границы интегрирования в обе стороны, и ждём, сойдётся он к чему-то хорошему или нет.