Как калькулятор вычисляет синусы-косинусы и число Пи?
Калькулятор работает по принципу цифровой техники.
Изначально с двоичными числами, далее переводит их в десятичные.
С натуральными всё понятно - это осуществимо. Даже с дробными - это простое смещение запятой. И с отрицательными понятно.
Но... чем он руководствуется в операциях с синусами и косинусами? Или изначально кто-то опытным путём рассчитал всю таблицу синусов (включая самые мельчайшие промежуточные значения) а потом забил их в память калькулятора? Ведь этих промежуточных значений может быть бесконечное число. Какими математическими формулами (избегая синусов) можно рассчитать эти самые синусы?
То же и относительно числа Пи. Калькулятор способен показать сколь угодно знаков после запятой, или количество знаков ограничено в его памяти?
Либо по таблицам (что маловероятно, хотя возможно для маломощных вычислительных средств, где не нужна большая точность, т. к. в таблицу можно внести лишь несколько значений, а остальные получить простейшим аппроксимированием), либо разложением в ряд Тейлора:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора
Тогда вычисление сводится к простейшим операциям сложения и умножения, а точность бесконечна, т. е. можно получить любую заданную.
Число пи записано заранее, как константа. Синусы-косинусы вычисляются с помощью полиномов Чебышева, потому таблица получается значительно меньше, чем это кажется. Так для вычисления синуса точностью до третьего знака нужно взять из таблицы всего пять значений.
И не только синусы и косинусы. В принципе так же, как их вычисляли вручную - разложением в ряды. Но, конечно, куда быстрее, чем вручную. Схемы математического сопроцессора компьютера, как и калькулятора, специально приспособлены для вычислений таких рядов. И, конечно, с ограниченной точностью в десяток-два десятичных знаков.
Эти функции разложены в ряды. Вот ряд он и вычисляет. А ПИ он просто знает (оно в ROM сидит)
Калькулятор - она умный, однако.