Влияет ли видео карта на производительность старого монитора.

Нет, не может. Если мы с вами правильно понимаем понятие "старый монитор". Это монитор, у которого есть только VGA разъём. Монитор, у которого есть hdmi - не старый.
Могут ограничивать современные мониторы и на в мощности видеокарты, а в получении максимально возможных FPS. То есть, если у вас современный монитор, но поддерживает он только 60 герц, то FPS будет максимум 60 без разрывов, а если вы выключите вертикальную синхронизацию, то будет больше FPS (если видеокарта очень мощная) но с разрывами на экране. А если монитор поддерживает 144 герц, то вы и увидите больший FPS без разрывов, опять же, если видеокарта мощная.

Вывод: монитор не ограничивает мощность видеокарты.