Что делает девушка на картинке, и что за это штука рядом с ней?

Девушка не печатает, она считает.

(Хотя фото и называется "Машинистки" (Typists), фотограф - Льюис Хин (Lewis W. Hine) (1874-1940). Снято в 1915 году)

Это - КОМПТОМЕТРИСТКА.

А прибор на коротом она работает, соответственно, называется "комптометр"
Механический клавишный счетный прибор, глубокая модернизация арифмометра, позволявший помимо простых арифметических действий выполнять высчитывание курсы валют, время и меры длины, веса и объема. намного более быстрая и эргономичная. У него было от восьми колонок по девять клавиш в каждой, а заводился он ключом. Эта конструкция позволяла легко добавлять новые клавиши, поэтому вскоре появились модификации.

Подробнее о комптометре: http://museum.comp-school.ru/show.php?id=211