Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6корней из 3 и образует с высотой пирамиды угол 30 градусов.

основание пирамиды - равносторонний треугольник
центроид, и в данном случае - ортоцентр - точка высоты от основания к вершине пирамиды.
расстояние от ребра основания до центра равен половине апофемы, так как напротив угла 30грд = 3√3
центр вписанной сферы лежит на пересечении биссектрис углов между апофемами и центральными перпендикулярами основания.
радиус вписанной сферы - расстояние до граней.
так как апофема наклонена к высоте на 30грд, то она наклонена к основанию на 60грд. биссектриса делит этот угол пополам 60/2=30грд.
радиус равен половине данной биссектрисы к высоте, так как напротив угла 30грд.
по т Пифагора
(2r)^2=r^2+(3√3)^2
4r^2-r^2=27
3r^2=27
r=3
площадь сферы S= 4Пr^2=4*9П=36П≈113,04