Как проверить слово весеннЕм?

Чтобы проверить гласную в безударном окончание прилагательного, надо задать к этому прилагательному вопрос и по ударному окончанию в вопросе определить, какую гласную следует писать в окончании прилагательного.

Если прилагательное
◆ на вопрос КАКУ́Ю? отвечает, то окончание в нём пишем -УЮ или -ЮЮ: каку́ю? кра́сную, но́вую, си́нюю, зи́мнюю;
◆ на вопрос КАКО́ГО? отвечает, то окончание в нём пишем -ОГО или -ЕГО: како́го? кра́сного, но́вого, си́него, зи́мнего;
◆ на вопрос КАКИ́М? отвечает, то в его окончании пишем Ы или И: каки́м? кра́сным, но́вым, си́ним, зи́мним;
◆ на вопрос КАКО́М? отвечает, то в его окончании пишем О или Е: како́м? кра́сном, но́вом, си́нем, зи́мнем.

Прилагательное ВЕСЕННЕМ на вопрос КАКО́М? отвечает: в како́м лесу? Следовательно, имеет окончание -ЕМ с безударной гласной Е: весе́ннЕм.

Табличка из Интернета Вам в помощь.