Можно ли записать закон сохранения энергии в проекциях на оси?

Энергия — это уже проекция на ось времени))

Попробуй.
... v в квадрате.
Ну и разложи этот квадрат по трём осям.

Для этого закон должен иметь координаты.

Энергия, это скаляр.
А вот закон сохранения импульса можно, так как импульс, это вектор.

Кинетическую энергию через проекции СКОРОСТИ на оси координат - можно:
mv^2/2= mvx^2/2+mvy^2/2+mvz^2/2

Ну и вопросик...

Нельзя, энергии покоя сложновато сопоставить ненулевые проекции чего-либо на пространственные оси.
Хотя, в принципе, энергия (в релятивизме) сама по себе является проекцией четырехимпульса на ось времени. Куда там эта ось времени торчит, зависит от выбора системы отсчета.

Теорему о сохранении кинетической энергии в нерелятивисткой физике можно записать через проекции на пространственные оси, примерно как оно предложено выше Рустамом и Васьком. Но слагаемые для разных осей могут меняться при сохранении самой кинетической энергии системы.
В статфизе может еще и что-то (примерно) сохраняться дополнительно для каждой оси в силу теоремки о равнораспределении, но там речь идет о большом количестве частиц.

Тут бы как-то вопрос сузить.