Функция инфинитива в английском языке

Сказуемое

Предглагольное подлежащее.

Индефинит классический.. с ту...

The Egyptians seem to be... -это complex subject, а он всегда синтаксически представляет собой собственно подлежащее "The Egyptians" и сказуемое, в данном случае compound nominal predicate of double orientation "seem to be the first...", где инфинитив - это его часть.

Инфинитив
Неличная форма глагола, которая только называет действие и отвечает на вопросы «что делать, что сделать».
I. Имеет свойства существительного. Как и существительное может быть:
1. Подлежащим: To smoke is dangerous. Курить опасно.
2. Именной частью сказуемого: My duty was to stand there. Моей обязанностью было стоять там.
3. Дополнением: I told them to go. Я сказал им идти.
4. Определением: We had a wish to play tennis. У нас было желание поиграть в теннис.
5. Обстоятельством: I came up to him to take the book. Я подошёл к нему, чтобы взять книгу.
II. Имеет свойства глагола. Может иметь:
1. Прямое дополнение: I asked him to read the text. Я попросил его прочитать текст.
2. Может определяться наречием: I asked him to read fast. Я попросил его читать быстро.
3. Может являться частью составного глагольного сказуемого: It started to rain. Начал капать дождь.
4. Имеет формы аспекта и залога:

Инфинитив без показателя используется:
1. После модальных глаголов: can, must, may, need (кроме ought to). You must do it! Ты должен это сделать! You may come in. Можешь войти. I can speak English. Я могу говорить по-английски. Need you go there? А надо ли тебе туда идти? Shall we go for a walk? Может погуляем? Will you sit, please? Не изволите ли сесть?
2. После глаголов: have, make, let, persuade (только в действительном залоге): Mary had John wash her car. Джон помыл Мэри машину. She made him wash her car. Она заставила его помыть её машину. Then she let him go. А потом отпустила его. John was made to wash the car. Джона заставили помыть машину. (страдательный залог).
3. После had better, would rather: You’d better go there right now. Тебе лучше пойти туда прямо сейчас.
4. После глаголов восприятия: see, watch, hear, feel, listen to, notice: He saw her leave the room. Он видел, как она вышла из комнаты. I heard you say that. Я слышал, как ты сказал это. She felt the train move. Она почувствовала, как поезд тронулся.
5. Может после глагола help: John helped Mary wash the dishes. Джон помог Мэри помыть посуду. Mike helped an old woman carrying many packages (to) find a taxi. Майк помог пожилой женщине с множеством пакетов найти такси.
6. В видо-временных формах глагола будущего времени: He will come soon. Он скоро придёт. He would do it in a moment. Он бы сделал это мгновенно.

Инфинитивная группа может выполнять функции:
1 Подлежащего: To learn a foreign language takes a long time. Изучение иностранного языка занимает много времени.
2 Прямого дополнения: You forgot to say goodby. Ты забыл сказать «до свидания».
3. Прилагательного: She needs me to help her. Я ей нужен в роли помогающего. Here is the tree to cut down. Вот дерево, подлежащее вырубке. He seems to have gone. Похоже, он ушёл.
4. Наречия: I’m glad to see you! Рад видеть вас! He is talking too fast to catch up with. Он говорит слишком быстро, чтобы понять.

египтяне выглядят быть первыми применить геометрию...

Увы, ты дала ЛО неправильному ответу. Здесь вообще нет правильного ответа. Здесь инфинитив - часть сложного подлежащего The Egyptians to be.