Допустим, уравнение пути мат. точки задается уравнением s(t)=e^t. Следует ли из этого, что s(t)=v(t)=a(t)=e^t?
Предположим, что путь, пройденный мат. точкой, изменяется по закону s(t)=e^t, где e - число Эйлера.
Известно, что ускорение есть первая производная от скорости и вторая производная от пути, а скорость есть первая производная от пути.
Известно, что производная экспоненты равна самой экспоненте (f''(x)=f'(x)=f(x)=e^x).
Выходит следующее равенство: a(t)=v'(t)=s''(t)=(e^t)''=(e^t)'=e^t.
Отсюда следует, что a(t)=v(t)=s(t)=e^t.
Чисто физический пример: при времени t = 1 с получаем, что a(1)=v(1)=s(1) = 1 { м/с^2; м/с; м }.
Получается, если мат. точка движется по закону s(t)=e^t, то при любых значениях t -> ∞ ускорение материальной точки равно её же скорости и пройденному расстоянию. Это чисто математически.
Применим знания по кинематике: s(t)=0.5*a*t^2 (v0 = 0), воспользуемся тем, что s(t)=a(t) => s=0.5*s*t^2, поделим обе части уравнения на s и умножим на 2, получим 2=t^2, отсюда получаем, что t = sqrt(2) = 1.41 c. Время статичным быть не может. Значит чисто физически это невозможно.
Вопрос - в чём дело?
Упрощенный мини-пример, чтобы было понятнее: допустим s(t)=2^t, значит v(t)=2^t*ln(2), всё просто - при t = 3 с: s(3)=2^3=8 м и v(3)=2^3*ln(2)=5.6 м/c. Почему если s(t)=2^t - всё хорошо, а если s(t)=e^x - невозможность.
Я чего-то не понимаю, или несостыковка мат. аппарата и физики?
Попрошу объяснить подробнее, в чём я не прав, вероятнее всего я не прав.
Разумеется я понимаю, что в реальной жизни сложно представить ситуацию, где мат. точка будет передвигаться по закону s(t)=e^t, поэтому прошу принять просто как факт.
s(t)=0.5*a*t^2
эта формула справедлива только при равноускоренном движении s'' = a = const
Разумеется, производная по t от e^t равна e^t. Это математика. Это отвлечённые числа.
Но если t это время в секундах, а e^t длина пути в метрах, то d/dt e^t это уже скорость в м/с. И вот эти две величины НЕ равны, это физика.
Аналогично и с ускорением.
Аналогичный пример: 5=5=5, но 5кг=/=5м=/=5часов
>> Применим знания по кинематике: s(t)=0.5*a*t^2
Какие-то странные знания по кинематике. Путь - второй интеграл ускорения.
Не.. всё норм.. это пр меняют для решения инт. уравнения 2го порядка.. там же размерность меняется как ты и пишешь.. сначала убираем свободный член и делаем равным нулю, что уже общее однородное уравнение так как неизвестно что считаем... расстояние например.. Берём эту самую вспомогательную функцию т. к. она типа однородна для всего.. и для пути и скорости и ускорения... и находим корни для нашего нового уравнения. В нём мы не знаем ни размерность и его решение неправильное т. к. убрали св. член с. Эти два корня подойдут если мы будем двигаться с именно такой функцией е^t. И то почти подойдут для начального уравнения. Добавляем свободный член и получим точное решение то есть плюс часное решение .Там синусоида может быть и т. д. В отве е и будет выбранная функция с размерность и поправкой в показатели степени... Вообще просто придаём скорость, промахиваемся и с поправкой имеем точное решение. Типа инерциальные ракеты называется.