SOS. Помогите пожалуйста. Застрял на 2 пункте
Материальная точка движется в плоскости (xy) так, что ее координаты изменяются по закону: x = A cos ωt, y = −A sin ωt, где A и ω
положительные постоянные. Найти:
(1) траекторию;
(2) путь, пройденный точкой как функцию времени;
(3) угол между v и a в произвольный момент времени.
(2) Путь - это та часть окружности, которую точка успела намотать. Радиус окружности A, за ωt = 2π точка делает полный оборот, проходя расстояние 2πA, и путь линейно зависит от времени, поэтому
S(2π/ω) = 2πA
S(t) = 2πAt / (2π/ω) = Aωt
(3) Угол между векторами скорости и ускорения - всегда прямой (как и положено при круговом движении). Шустрик выше написал формулы, да только запутался в трёх соснах при преобразованиях, потому что он не умеет решать такие задачи. По его же формуле видно, что скалярное произведение векторов скорости и ускорения равно нулю, и дальше можно не считать.
Дано:
x = A*cos (w*t)
y = - A*sin (w*t)
_______________
1) Найти траекторию
2) S(t) - ?
3) Угол между V и a ?
1)
Для нахождения траектории исключаем из уравнений координат время:
cos (w*t) = x / A;
sin (w*t) = - y / A;
Возводим в квадрат:
cos² (w*t) = x² / A²;
sin² (w*t) = y² / A²;
Сложим:
cos² (w*t) + sin² (w*t) = x² / A² + y² / A²;
1 = (x² + y²) / A²
x² + y² = A² - уравнение окружности радиуса R. Центр окружности в начале координат.
2)
Проекции скоростей на оси:
Vx = x' = - w*A*sin (w*t)
Vy = y' = - w*A*cos (w*t)
Скорость
V = √ (Vx² + Vy²) = w*A
Путь:
S(t) = w*A*t
3)
Угол между скоростью (направленной по касательной) и центростремительным ускорением (направленным, естественно, к центру окружности) в любой момент времени равен 90°
(1) Траектория точки определяется уравнением y(x) или x(y), которые мы можем получить из заданных уравнений движения:
y = -A sin(ωt) => y = -A sin(arctan(-y/x)) => x^2 + y^2 = A^2
x = A cos(ωt) => x = A cos(arctan(-y/x))
Таким образом, траектория точки является окружностью радиуса A с центром в начале координат.
(2) Для нахождения пути, пройденного точкой, нужно найти ее скорость и интегрировать ее по времени от начального момента t1 до конечного момента t2:
v = (dx/dt, dy/dt) = (-Aω sin(ωt), -Aω cos(ωt))
|v| = sqrt[(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2] = Aω
S = ∫|v|dt = Aω(t2-t1)
Таким образом, путь, пройденный точкой, равен Aω(t2-t1).
(3) Ускорение точки можно найти, взяв производную скорости по времени:
a = (dv/dt) = (-Aω^2 cos(ωt), Aω^2 sin(ωt))
Теперь мы можем найти угол между векторами скорости и ускорения в произвольный момент времени t:
cos(θ) = (v * a) / (|v| * |a|) = (-Aω^2 sin(ωt) * -Aω cos(ωt) - Aω^2 cos(ωt) * -Aω sin(ωt)) / (Aω * Aω^2) = cos(2ωt)
Следовательно, угол между векторами скорости и ускорения в произвольный момент времени t равен 2ωt