Как исследовать ряд на сходимость используя признаки даламбера и коши
3+9/4+27/27+81/256...3^n/n^n+...
1) Признак сходимости Д'Аламбера
lim(n->inf) |a[n+1] / a[n]| <1
В нашем случае:
lim(n->inf) | 3^(n+1) / (n+1)^(n+1) : 3^n / n^n | = lim(n->inf) | 3^(n+1) / 3^n * n^n / (n+1)^(n+1) | = ...
= lim(n->inf) | (1/(1+1/n))^n * 3/(n+1) | = 0 (<1 - СХОДИТСЯ)
2) Радикальный признак сходимости Коши
lim(n->inf) a[n]^(1/n) < 1
В нашем случае:
lim(n->inf) ((3/n)^n)^(1/n) = lim(n->inf) 3/n = 0 (<1 - СХОДИТСЯ)
Признак Даламбера, ЕМНИП, говорит об абсолютной сходимости: если предел, при n стремится к бесконечности, абсолютной величины отношения (n+1)-ого члена ряда к n-ому меньше 1, то ряд абсолютно сходится, а если нет - расходится. Для данного ряда это предел [3^(n+1)n^n]/[3^n/(n+1)^(n+1)] и он абсолютно сходится.
Признаков Коши есть два: радикальный и интегральный, здесь, смею предположить, речь идёт о первом (второй как-то нехорошо выглядит...) .
Тоже предел, но корня n-ой степени из n-ого члена. Здесь получается lim (3/n) = 0<1, т. е. тоже сходится.