Математический анализ 1 курс

Для вычисления координат центра тяжести фигуры ограниченной данными линиями с использованием двойного интеграла, нам необходимо найти массу и моменты относительно осей x и y этой фигуры.

Формула для вычисления координат центра тяжести (x̄, ȳ) в двумерном пространстве выглядит следующим образом:

x̄ = M_y / m
ȳ = M_x / m

Где:
M_y - момент относительно оси y
M_x - момент относительно оси x
m - масса фигуры

Для вычисления моментов M_y и M_x, а также массы m, мы должны использовать двойные интегралы.

Представим фигуру ограниченной данными линиями в виде интегральной области. Первое уравнение описывает эллипс, а второе уравнение - прямую:

x^2/9 + y^2 = 1 (1)
x - 3y - 3 = 0 (2)

Интегральная область ограничена ветвями эллипса и прямой. Для удобства, перепишем уравнение прямой (2) в виде x = 3y + 3.

Теперь мы можем записать двойной интеграл для вычисления массы m:

m = ∬ρ(x, y) dA

где ρ(x, y) = 1 - плотность равна единице, а dA - элемент площади.

Для вычисления моментов относительно осей x и y, мы используем следующие формулы:

M_y = ∬ρ(x, y) * x * dA
M_x = ∬ρ(x, y) * y * dA

Теперь мы можем использовать эти формулы для вычисления координат центра тяжести (x̄, ȳ) фигуры ограниченной данными линиями.