Олимпиадная задача по математике
У Васи есть синие и красные кубики в неограниченном количестве. Он решил составить башенку из 10 кубиков с соблюдением следующего правила: на синий кубик можно класть сверху любой другой кубик, а на красный кубик можно класть только синий кубик. Сколькими способами он может составить башенку, если будет соблюдать это ограничение?
С нулем красных кубиков - 1 вариант
С одним красным кубиком - 10 вариантов
С двумя красными кубиками - 10!/(8!*2)-9=36
С тремя красными кубиками - 10!/(7!*3!)-8-2*7-7*6=56
С четырьмя кубиками 29
С пятью красными кубиками - 2
Итого 134
Башня начинается с кубика не определенного цвета, на него можно положить любой кубик, затем любой кубик, далее, каждый следующий кубик мы можем положить так, как это описано в первом случае или во втором случае. Таким образом, при выборе начального кубика мы обычным образом способны построить 2 варианта башен при правиле соответствующего цвета. Получаем 4 различных варианта составления башен для этого случая.
Итого, получаем 1 + 2 + 4 = 7 вариантов составления башеньки из 10 кубиков при данных условиях.
