Можно ли брать отпуск последнюю неделю одного отпуска и первую начало второго?

Вы можете отпроситься у работодателя и подписать договор что вам не будут выплачивать второй отпуск

нет.

Чего?
До конца первого года работы нужно отгулять один отпуск, до конца второго года - второй и так далее.

а, по русски нельзя вопрос задать? что такое "брать отпуск последнюю неделю одного отпуска и первую начало второго"? что такое первый отпуск, второй отпуск?
в рабочем году положен один отпуск, 28 к.д., когда вам его предоставить решает работодатель, он обязан график отпусков составить и утвердить.
а, как вы этот отпуск делить будете на части, вы должны с работодателем договариваться. отпуск может быть предоставлен в любое время в течение рабочего года.

Это будет просто один отпуск, часть за один период работы, часть за другой