Пусть a, n и k — натуральные числа. Известно, что k делится на an. Докажите, что (a+1)^(k−1) делится на a^n+ 1 .

Ну и пусть

Для доказательства данного утверждения можно использовать метод математической индукции по n.

Базис индукции (n = 1):

Пусть a и k - натуральные числа, причем k делится на a. Тогда (a + 1)^(k - 1) является степенью числа a + 1, умноженной на некоторую степень числа a. Так как a^n + 1 = a + 1 и k - 1 >= 0, то (a + 1)^(k-1) делится на a + 1.

Индуктивный переход:

Предположим, что утверждение верно для n = m, т.е. если k делится на am, то (a+1)^(k-1) делится на am + 1. Теперь докажем, что если k делится на an+1, то (a+1)^(k-1) делится и на an+1 + 1.
Заметим, что an+1 = an * a, а значит, k делится и на an, и на a. Из базиса индукции следует, что (a+1)^(k-1) делится на an + 1.

Так как k делится на an, то аn является делителем k.

Пусть m = k / (an). Тогда k = m * an. Заметим, что аn также является делителем (a+1)^k−1.

Так как (a+1)^k−1 = (a+1)^(m*an - 1) = ((a+1)^an)^m * (a+1)^(-1), то всякий раз, когда a+1 делит (a+1)^(k−1), то также и a+1 делит ((a+1)^an)^m и (a+1)^(-1).

Так как a+1 делит (a+1)^an и (a+1)^(-1), то a+1 должно делить их произведение.

(a+1)^an * (a+1)^(-1) = (a^n + 1)(a+1)^(-1).

Таким образом, можно заключить, что (a+1)^(k−1) делится на a^n + 1.