Если на английском написать холодильник как refrigerator, это не будет ошибкой?

Refrigerator больше относится к литературной или технической речи, но по факту это синоним слова fridge, которое от него и произошло.

P.S. только что узнал, что refrigerator это полная форма слова холодильник, а не морозилка.
Морозилка - freezer